《二次函数》是苏科版数学九年级下册第五章的教学内容，主要目标是在一次函数、反比例函数的学习基础上进一步认识函数。
我曾多次执教这节课，其中印象尤为深刻的是最近执教的两次公开课，两次执教是在两个不同版本数学课程标准的指导下分别完成的。现将两次执教课例进行对比分析，探讨如何创新数学建模教学设计，在数学概念教学中发展学生的模型观念。
第一次执教这节课是2021年10月，我当时依据的是《义务教育数学课程标准（2011年版）》，采用的是数学概念教学的常规方式，通过数学活动促进学生经历“概念引入、概念形成、概念深化、概念应用、小结反思”五个环节，帮助学生理解二次函数的概念。
概念引入。我使用了教材提供的素材，分别呈现“水滴波纹”“矩形围圃”“镜子镶框”三个问题情境，分别提出圆周长与半径、圆面积与半径、矩形长与宽、矩形面积与边长、总费用与镜面宽等之间存在怎样的函数关系的问题，驱动学生从问题情境中获得若干函数表达式。
概念形成。学生观察获得的函数表达式，找出熟悉的函数表达式，回顾一次函数的研究内容和研究方法，在此基础上观察不熟悉的函数表达式，概括出共同特征，类比一次函数概念，形成二次函数概念。
概念应用。我在此环节编制了“服装销售”问题，涉及此前学习过的“两次增长”模型，即a（1+x）2=b，让学生经历从具体情境到二次函数，从二次函数到一元二次方程的应用过程，感受二次函数的应用价值。
这节课例遵循数学概念教学的基本要求，采用一线数学教师公认的常规教学实施策略，有效完成课前设定的教学目标——理解二次函数概念。
第二次执教这节课是2023年11月江苏省教育科学精品课题联盟（初中组）专题研讨课上，我依据的是《义务教育数学课程标准（2022年版）》，提出“全过程数学建模”教学主张，设置了“情境—问题—抽象—建模—识模—用模—探模—总结”七个环节，该教学设计创新了概念教学环节，突出了模型观念、抽象能力、应用意识和创新意识的培养。
呈现情境，抽象表达体验式培训定义。我对教材内容进行了创新设计，分别呈现“水滴波纹”“篱笆围矩”“服装销售”三个未设置任何问题的情境，由学生以数学的眼光从情境中发现和提出数学问题，并用表达式表示数学问题中的数量关系，从而获得若干函数表达式。
观察概括，建立模型。我提出了两个问题，一是找出你熟悉的函数表达式，并说说它是怎样的函数；二是观察不熟悉的函数表达式，它们有什么共同的特征？目的是类比一次函数的特征，概括出“含有自变量的二次整式”的特征，进一步用符号抽象和建立二次函数的一般模型y=ax2+bx+c（a≠0）。在建立概念模型环节，重点是帮助学生用字母表示数，经历数学抽象和建立模型的过程，体会从特殊到一般的思想方法，明晰二次函数模型的来龙去脉，积累建模经验。在概念模型形成后，引导学生从数学世界和现实世界两个维度讨论自变量x的取值范围，帮助学生理解二次函数的现实意义。
识别模型，强化特征。我在此环节设置了6个函数表达式，提出二次函数辨析的问题，驱动学生根据二次函数的内涵和外延进行辨析，强化“一般形式”“含有自变量的二次整式”和“a≠0”的判断标准，促进学生理解概念。
应用模型，体验建模。我以经典的“握手模型”为背景，设置了“中学生篮球联赛场次数”问题，先由学生自主思考，分析问题中的数量关系。在学生遇到困难时，以现实生活中的握手次数为例，帮助学生建立二次函数模型，从而解决实际问题，感受二次函数模型的应用价值。
练习巩固，理解概念。此环节属于课堂检测反馈环节，设计了4个问题，用于诊断学生对二次函数概念模型的掌握情况。
展望探究，明晰结构。我要求学生结合以往的学习经验，谈一谈接下来如何对二次函数展开研究？主要目的是类比一次函数和反比例函数的研究过程，初步构建二次函数的研究框架，明确研究内容和研究方法。
类比建构，思维可视。本节课我采用了表格式板书，主要呈现了函数研究的内容与路径，凸显类比、转化、模型等数学思想方法，以实现教学内容过程化、数学思维可视化。
第二次执教前，我认真研读了《义务教育数学课程标准（2022年版）》，重新审视了第一次执教的教学设计，将发展学生模型观念作为第二次教学设计的重要目标。我结合江苏省教育科学规划重点课题“初中生数学建模能力培养与评价的实践研究”的研究成果，依据现有学生的认知水平和学习经验，创造性使用教材，为学生设计了真实、开放的情境，驱动学生经历数学建模的全过程，将教学目标有效落地。
第二次执教的创新设计与第一次执教的常规设计相比，表现出三个创新点：新观点、新尝试、新方式。新观点是指以“全过程数学建模”的教学观，实现夯实“四基”、发展“四能”、落实“三会”课程目标的一种教学观点。新尝试是指设置无问题的开放情境，驱动学生用数学的眼光观察现实世界，从数学的角度发现和提出若干数学问题，生成丰富的数学模型，发展创新意识。新方式是指采用体验式、启发式、互动式教学，让学生在观察、提问、建模、归纳、抽象、辨析、举例、应用等活动中体验数学建模基本流程，在数学模型与现实世界的互译中理解和掌握二次函数概念，发展模型观念体验式活动课教学设计。
（作者单位系江苏省苏州市阳山实验初级中学校，本文为江苏省教育科学“十四五”规划重点课题“初中全过程数学建模教学的整体规划与实施研究”的研究成果，课题编号：B/2024/04/189）